Информация о задаче

Задача 55399

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Вокруг правильного треугольника APQ описан прямоугольник ABCD, причём точки P и Q лежат на сторонах BC и CD соответственно; P₁ и Q₁ — середины сторон AP и AQ. Докажите, что треугольники BQ₁C и CP₁D подобны.

Подсказка

Точки Q₁ и C лежат на окружности с диаметром PQ; BQ₁C и CP₁D — равносторонние треугольники.

Решение

Поскольку PQ₁ — высота треугольника APQ, то точки Q₁ и C лежат на окружности с диаметром PQ. Поэтому

$\displaystyle \angle$ BCQ₁ = $\displaystyle \angle$ PCQ₁ = $\displaystyle \angle$ PQQ₁ = 60^o.

Аналогично $\angle$ CBQ₁ = 60^o. Следовательно, треугольник BQ₁C — равносторонний. Аналогично для треугольника CP₁D.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4718