Информация о задаче

Задача 55400

Темы:	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Продолжение биссектрисы AD остроугольного треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке E. Из точки D на стороны AB и AC опущены перпендикуляры DP и DQ. Докажите, что S_ABC = S_APEQ.

Подсказка

Пусть окружность, проходящая через точки A, B, C и D, пересекает сторону BC в точке F, отличной от E. Докажите, что QF || CE и PF || BE.

Решение

Точки P и Q лежат на окружности с диаметром AD. Пусть F — точка пересечения этой окружности со стороной BC (если AB $\ne$ AC, то F не совпадает с D). Тогда

$\displaystyle \angle$ BCE = $\displaystyle \angle$ BAE = $\displaystyle \angle$ DAQ = $\displaystyle \angle$ QFD = $\displaystyle \angle$ QFC.

Следовательно, QF || CE. Аналогично докажем, что FP || BE.

Пусть M и N — точки пересечения прямых EP и EQ со стороной BC. Тогда в трапеции BEFP известно, что S_BMP = S_FME. Аналогично S_QNC = S_FNE. Следовательно,

S_ABC = S_APMNQ + S_PBM + S_QNC =

= S_APMNQ + S_FME + S_FNE = SAPEQ.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4719