Задача 55404

Темы:    [ Вневписанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке K, а вневписанная — в точке L. Докажите, что CK = BL = , где a, b, c — длины сторон соответственно BC, AC и AB треугольника ABC.

Подсказка

Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны между собой.

Решение

Пусть M и N — точки касания вписанной окружности со сторонами AB и AC соответственно. Тогда

c = BM + AM = BK + AN = a - CK + b - CN = a - CK + b - CK.

Поэтому CK = .

С другой стороны, если P и Q — точки касания вневписанной окружности с продолжением сторон AB и AC соответственно, то

BP + CQ = BL + CL = BC = a.

Поэтому

AP = AQ = , BL = BP = AP - AB = - c = .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4724