Информация о задаче

Задача 55432

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности с центрами O₁ и O₂, лежащими на стороне MN треугольника MPN, касаются друг друга и пересекают стороны MP и PN в точках M, D, и N, C соответственно, причём MO₁ = O₁D = 3 и NO₂ = CO₂ = 6. Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что отношение площади треугольника MCO₂ к площади треугольника O₁DN равно 8 $\sqrt{2-\sqrt{3}}$ .

Подсказка

Составьте систему тригонометрических уравнений относительно углов PMN и PNM.

Решение

Обозначим $\angle$ PMN = $\alpha$ , $\angle$ PNM = $\beta$ . Тогда $\angle$ DO₁N = 2 $\alpha$ , $\angle$ CO₂M = 2 $\beta$ . Поскольку

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta MCO_{2}}}{S_{\Delta O_{1}DN}}}$ = $\displaystyle {\frac{O_{2}C\cdot O_{2}M\sin 2\beta}{O_{1}D\cdot O_{1}N\sin 2\alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{8\sin 2\beta}{5\sin 2\alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{8\sqrt{3}}{5}}$ ,

то

$\displaystyle {\frac{\sin \beta \cos \beta}{\sin \alpha \cos \alpha}}$ = $\displaystyle \sqrt{3}$ .

По теореме синусов

$\displaystyle {\frac{\sin \beta}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{PM}{PN}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}}$ = $\displaystyle \sqrt{2+\sqrt{3}}$ .

Подставив найденное отношение в предыдущее равенство, получим, что

$\displaystyle {\frac{\cos \beta}{\cos \alpha}}$ = $\displaystyle \sqrt{2+\sqrt{3}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} \sin \alpha = \sqrt{2-\sqrt... ...alpha = \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}\cos \beta}{\sqrt{3}}. \\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} \sin \alpha = \sqrt{2-\sqrt{3}}\sin \beta\\ \cos \alpha = \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}\cos \beta}{\sqrt{3}}. \\ \end{array}$

Возведём обе части этих равенств в квадрат и сложим почленно полученные равенства. Имеем уравнение

1 = (2 - $\displaystyle \sqrt{3}$ )sin² $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle {\frac{2+\sqrt{3}}{3}}$ cos² $\displaystyle \beta$ ,

а т.к. cos² $\beta$ = 1 - sin² $\beta$ , то это уравнение можно записать в виде

1 = (2 - $\displaystyle \sqrt{3}$ )sin² $\displaystyle \beta$ + $\displaystyle {\frac{2+\sqrt{3}}{3}}$ (1 - sin² $\displaystyle \beta$ ).

Отсюда находим, что sin² $\beta$ = ${\frac{1}{4}}$ .

Поскольку $\alpha$ и $\beta$ — острые углы прямоугольных треугольников MDK и NCK (K — точка касания окружности), то $\beta$ = 30^o, а т.к. sin $\alpha$ = ${\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}}$ , то $\alpha$ = 15^o. Следовательно, $\angle$ MPN = 135^o. Тогда

PN = $\displaystyle {\frac{MN\sin 15^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{18\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{18\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}}$ ,

S_MNP = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ MN^.PN sin 30^o = $\displaystyle {\frac{81\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{81(\sqrt{3}-1)}{2}}$ .

Ответ

${\frac{81(\sqrt{3}-1)}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4752