Информация о задаче

Задача 55439

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Трапеции ABCD и ACDE с равными большими основаниями соответственно AD и AC вписаны в окружность. Чему равен радиус этой окружности, если площадь треугольника ADE равна 1 + $\sqrt{3}$ , а угол COD равен 60^o, где O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD.

Подсказка

$\angle$ COD = ${\frac{\cup CD + \cup AB}{2}}$ .

Решение

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны. Поэтому $\cup$ AB = $\cup$ CD = $\cup$ AE. Поскольку хорды AC и AD равны, то

$\displaystyle \cup$ AB + $\displaystyle \cup$ BC = $\displaystyle \cup$ AE + $\displaystyle \cup$ ED.

Значит, $\cup$ BC = $\cup$ ED.

Обозначим $\cup$ AB = $\alpha$ , $\cup$ BC = $\beta$ . Тогда

$\displaystyle \angle$ COD = $\displaystyle {\frac{\cup CD + \cup AB}{2}}$ = $\displaystyle \alpha$ = 60^o, 2 $\displaystyle \beta$ = 360^o - 3 $\displaystyle \alpha$ = 180^o.

Следовательно, $\beta$ = 90^o. Поэтому

$\displaystyle \angle$ ADE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \cup$ AE = $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = 30^o, $\displaystyle \angle$ DAE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \cup$ ED = $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ = 45^o.

Пусть R — искомый радиус. Тогда

S_ADE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AE^.DE sin $\displaystyle \angle$ AED = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.2R sin 30^{o .}2R sin 45^{o .}sin 75^o = $\displaystyle {\frac{R^{2}(\sqrt{3} + 1)}{4}}$ = $\displaystyle \sqrt{3}$ + 1.

Следовательно, R² = 4.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4761