Информация о задаче

Задача 55445

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. На всех его сторонах как на диаметрах построены полуокружности, лежащие вне треугольника. Найдите радиус окружности, касающейся построенных полуокружностей.

Подсказка

Пусть O — центр искомой окружности, R — её радиус. Расстояния от точки O до середины сторон данного треугольника равны R - 3, R - 4 и R - 5.

Решение

Пусть O — центр искомой окружности, R — её радиус, M, N и K — середины сторон BC, AC и AB треугольника ABC (BC = 6, AC = 8, AB = 10).

Поскольку M, N, и K — центры полуокружностей радиусов 3, 4 и 5, то

OM = R - 3, ON = R - 4, OK = R - 5.

Пусть P и Q — проекции точки O на MK и NK. Тогда

OK² - KP² = OM² - MP², ON² - NQ² = OK² - KQ²,

или

(R - 5)² - KP² = (R - 3)² - (4 - KP)², (R - 4)² - (3 - KQ)² = (R - 5)² - KQ².

Из этих уравнений находим, что KP = 4 - ${\frac{1}{2}}$ R и KQ = 3 - ${\frac{1}{3}}$ R. По теореме Пифагора из треугольника OPK находим, что

OK² = OP² + PK² = KQ² + KP², или (R - 5)² = $\displaystyle \left(\vphantom{3 - \frac{1}{3}R}\right.$ 3 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ R $\displaystyle \left.\vphantom{3 - \frac{1}{3}R}\right)^{2}_{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{4 - \frac{1}{2}R}\right.$ 4 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ R $\displaystyle \left.\vphantom{4 - \frac{1}{2}R}\right)^{2}_{}$ .

Упростив, получим уравнение

$\displaystyle {\textstyle\frac{23}{36}}$ R² - 4R = 0.

Отсюда находим, что R = ${\frac{144}{23}}$ .

Ответ

${\frac{144}{23}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4767