|
|
 |
Условие
Докажите, что проекции точки пересечения диагоналей вписанного четырёхугольника на его стороны являются вершинами описанного четырёхугольника, если только они не попадают на продолжения сторон.
Подсказка
Докажите, что биссектрисы четырёхугольника, вершины которого – проекции точки пересечения диагоналей вписанного четырёхугольника на его стороны, проходят через точку пересечения диагоналей исходного четырёхугольника.
Решение
Пусть M, N, K и L – проекции точки O пересечения диагоналей AC и BD вписанного четырёхугольника ABCD на стороны AB, BC, CD и AD соответственно.
Четырёхугольники MBNO и NCKO вписанные, поэтому
∠MNO = MBO = ∠ABD = ∠ACD = ∠OCK = ∠ONK, то есть NO – биссектриса угла MNK. Аналогично MO, KO и LO – биссектрисы углов четырёхугольника
MNKL.
Следовательно, точка O равноудалена от сторон четырёхугольника MNKL, то есть он описанный.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4781 |
