Задача 55464

Темы:    [ Теорема Птолемея ] [ Правильные многоугольники ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

Условие

Пусть A₁A₂...A_n – правильный многоугольник с нечётным числом сторон, M – произвольная точка на дуге A₁A_n окружности, описанной около многоугольника. Докажите, что сумма расстояний от точки M до вершин с нечётными номерами равна сумме расстояний от M до вершин с чётными номерами.

Подсказка

Примените теорему Птолемея для n четырёхугольников MA₁A₂A₃, MA₂A₃A₄ и т.д.

Решение

   Рассмотрим сначала случай  n = 5.  Обозначим    A₁A₂ = a,  A₁A₃ = A₂A₄ = A₃A₅ = A₅A₂ = A₁A₄ = b,  MA_i = d_i.
Применив теорему Птолемея к пяти вписанным четырёхугольникам MA₁A₂A₃, MA₂A₃A₄, MA₃A₄A₅, A₄A₅MA₁ и A₅MA₁A₂, получим следующие равенства:
      ad₁ + ad₃ = bd₂,
      bd₃ = ad₂ + ad₄,
      ad₃ + ad₅ = bd₄,
      ad₁ + bd₅ = ad₄,
      bd₁ + ad₅ = ad₂.
Сложив их почленно, получим, что   (2a + b)(d₁ + d₂ + d₃) = (2a + b)(d₂ + d₄).
Следовательно,   d₁ + d₃ + d₅ = d₂ + d₄.
   Доказательство для любого правильного n-угольника с нечётным числом сторон практически аналогично.

Замечания

Ср. с задачей 52355.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4786