Задача 55466

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что если точка пересечения высот остроугольного треугольника делит высоты в одном и том же отношении, то треугольник правильный.

Подсказка

Если BB₁ и CC₁ — высоты данного треугольника ABC, то BB₁ и CC₁ — пересекающиеся хорды одной окружности.

Решение

Пусть AA₁, BB₁ и CC₁ — высоты остроугольного треугольника ABC, H — их точка пересечения, = = = k.

Отрезок BC виден из точек B₁ и C₁ под прямым углом. Следовательно, точки B, C₁, B₁ и C лежат на окружности с диаметром BC. По теореме об отрезках пересекающихся хорд

BH ^. B₁H = CH ^. C₁H, или  ^. BB²₁ = ^. CC²₁.

Поэтому BB₁ = CC₁.

Из равенства прямоугольных треугольников AB₁B и AC₁C (по катету и острому углу) следует, что AB = AC. Аналогично AB = BC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4788