|
|
 |
Условие
Три окружности S1, S2 и S3 попарно касаются друг друга в трёх различных точках. Докажите, что прямые, соединяющие точку касания окружностей S1 и S2 с двумя другими точками касания, пересекают окружность S3 в точках, являющихся концами её диаметра.
Подсказка
Пусть O1, O2 и O3 — центры данных окружностей, а M и N — точки пересечения указанных прямых с третьей окружностью. Докажите, что O3M || O1O2 и O3N || O1O2.
Решение
Пусть окружности S1 и S2 касаются в точке A, S2 и S3 -- в точке B, S1 и S3 — в точке C; O1, O2, O3 — центры этих окружностей.
Если прямые AB и AC пересекают окружность S3 соответственно в точках M и N (отличных от B и C), то равнобедренные треугольники AO1C и NO3C имеют равные углы при вершине C. Поэтому их углы при вершинах A и N также равны. Следовательно, O3N || O1A. Аналогично O3M || O2A.
Точка A лежит на прямой O1O2. Поэтому O3N || O1O2 и O3M || O1O2. Следовательно, прямая MN проходит через центр O3 третьей окружности.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4789 |
