Задача 55483
|
|
 |
Условие
Окружность касается стороны BC треугольника ABC в точке M, а продолжений сторон AB и AC — в точках P и Q соответственно. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке K, а стороны AB — в точке L. Докажите, что:
а) отрезок AP равен полупериметру p треугольника ABC;
б) BM = CK;
в) BC = PL.
Подсказка
Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны между собой.
Если окружность, вписанная в треугольник PQR, касается стороны PQ в точке S, а p — полупериметр треугольника, то PS = p - RQ.
Решение
а) Поскольку BP = BM, CQ = CM и AP = AQ, то
AB + BC + AC = AB + (BM + MC) + AC =
= AB + (BP + QC) + AC = (AB + BP) + (QC + AC) = AP + AQ = 2AP
Следовательно,
AP = 
= p.
б)
BM = BP = AP - AB = p - AB = CK.
в)
PL = AP - AL = p - (p - BC) = BC.
