Информация о задаче

Задача 55486

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
Темы:	[	Отношение площадей подобных треугольников	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Две окружности радиусов 3 и 4, расстояние между центрами которых равно 5, пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружности в точках C и D, причём CD = 8 и точка B лежит между точками C и D. Найдите площадь треугольника ACD.

Подсказка

Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей. Докажите, что треугольник ACD подобен треугольнику BO₁O₂.

Решение

Пусть O₁ и O₂ — центры меньшей и большей окружностей соответственно, а точка C расположена на меньшей окружности. Тогда

$\displaystyle \angle$ DCA = $\displaystyle \angle$ BCA = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \cup$ AB = $\displaystyle \angle$ BO₁O₂.

Аналогично $\angle$ CDA = $\angle$ BO₂O₁. Следовательно, треугольник ACD подобен треугольнику BO₁O₂ с коэффициентом ${\frac{CD}{O_{1}O_{2}}}$ = ${\frac{8}{5}}$ .

Треугольник BO₁O₂ — прямоугольный, т.к.

O₁O²₂ = 5² = 3² + 4² = O₁B² + O₂B².

Следовательно,

S_BCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{64}{25}}$ S_BO₁O₂ = $\displaystyle {\textstyle\frac{384}{25}}$ .

Ответ

${\frac{384}{25}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4808