Задача 55496

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Две окружности касаются друг друга внешним образом. Четыре точки A, B, C и D касания их общих внешних касательных последовательно соединены. Докажите, что в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность и найдите её радиус, если радиусы данных окружностей равны R и r.

Подсказка

Проведите общую внутреннюю касательную.

Решение

Пусть AD и BC — общие касательные к окружностям радиусов r и R (r < R) с центрами в точках O₁ и O₂ соответственно; точки A и B лежат на первой окружности, C и D — на второй.

Если Q — точка пересечения прямых AD и BC, то QAB и QDC — равнобедренные треугольники. Следовательно, AB параллельно CD и ABCD — равнобедренная трапеция.

Пусть общая внутренняя касательная пересекает отрезки BC и AD в точках M и N соответственно. Если K — точка касания окружностей, то

MK = KN, AN = NK = ND, BM = MK = MC.

Поэтому MN — средняя линия трапеции ABCD и

AD + BC = 2MN = AB + DC.

Следовательно, в трапецию ABCD можно вписать окружность.

Пусть F — проекция точки O₁ на O₂D. Тогда

O₁O₂ = R + r, O₂F = R - r, O₁F = 2.

Пусть P — проекция точки A на DC. Тогда треугольник APD подобен треугольнику O₁FO₂ по двум углам. Поэтому

AP = AD ^. = .

Следовательно, искомый радиус равен .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4818