Информация о задаче

Задача 55497

Темы:	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике PQR угол QPR равен 60^o. Через вершины P и R проведены перпендикуляры к сторонам QR и PQ соответственно. Точка пересечения этих перпендикуляров находится от вершин P и Q на расстоянии, равном 1. Найдите стороны треугольника PQR.

Подсказка

Воспользуйтесь свойством серединного перпендикуляра к отрезку.

Решение

Пусть M точка пересечения указанных перпендикуляров, а A и B -- их точки пересечения с прямыми QR и PQ. Поскольку высоты треугольника пересекаются в одной точке, то прямая QM перпендикулярна стороне PQ, а т.к. точка M равноудалена от точек P и Q, то QM — серединный перпендикуляр к стороне PQ.

Следовательно, точка Q равноудалена от точек P и R. Поэтому треугольник PQR — равнобедренный. Поскольку один из углов этого треугольника равен 60^o, то треугольник PQR — равносторонний. Тогда

PA = RB = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ PM = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ , PQ = QR = PR = $\displaystyle {\frac{PA}{\sin 60^{\circ}}}$ = $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Ответ

PQ = QR = PR = $\sqrt{3}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4819