Задача 55518

Темы:    [ Признаки и свойства касательной ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Савин А.П.

Из центра каждой из двух данных окружностей проведены касательные к другой окружности.
Докажите, что хорды, соединяющие точки пересечения касательных с окружностями, (см. рис.) равны.

Подсказка

Выразите каждую из указанных хорд через радиусы окружностей и расстояние между их центрами.

Решение

  Пусть O₁ и O₂ – центры окружностей; r и R – их радиусы, AB и CD – указанные хорды; M и N – их точки пересечения с отрезком O₁O₂; O₂P – касательная к первой окружности (P – точка касания). Ясно, что M и N – середины этих хорд.
  Из подобия прямоугольных треугольников O₂ND и O₂PO₁ находим, что  DC = 2DN = 2O₁P·^O₂D/_O1O2 = ^2rR/_O1O2.  Аналогично  AB = ^2rR/_O1O2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4841