Информация о задаче

Задача 55530

Темы:	[	Круг, сектор, сегмент и проч.	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Касающиеся окружности	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Скопец З.А.

В данный сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей (рис.1). Для каждой пары окружностей через точку касания проводится касающаяся их прямая. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.

Подсказка

Докажите, что каждая такая касательная проходит через середину дуги, дополняющей дугу данного сегмента до окружности.

Решение

Пусть окружности S₁ и S₂ радиусов r₁ и r₂, вписанные в сегмент окружности S радиуса R, касаются между собой внешним образом в точке P, а также касаются хорды AB окружности S и дуги AB этой окружности в точках C и D соответственно. Докажем, что общая касательная к окружностям S₁ и S₂, проведённая через точку P, проходит через середину M дуги AB, не содержащей точек C и D.

При гомотетии с центром в точке C и с коэффициентом ${\frac{R}{r_{1}}}$ окружность S₁ переходит в окружность S, прямая AB — в прямую l, параллельную AB и касающуюся окружности S в точке M — середине дуги AB, не содержащей точек C и D. Следовательно, точка E касания окружности S₁ с прямой AB лежит на прямой CM. Аналогично докажем, что точка F касания окружности S₂ с прямой AB лежит на прямой DM.

Пусть MN — диаметр окружности S, K — его точка пересечения с хордой AB. Прямоугольные треугольники MKE и MCN подобны. Поэтому

$\displaystyle {\frac{ME}{MN}}$ = $\displaystyle {\frac{MK}{MC}}$ , или ME^.MC = MK^.MN.

Аналогично MF^.MD = MK^.MN. Следовательно, ME^.MC = MF^.MD.

Докажем теперь, что прямая MP — общая касательная к окружностям S₁ и S₂. Предположим, что эта прямая вторично пересекает окружность S₁ в точке P₁, а окружность S₂ — в точке P₂. Тогда

MP₁^.MP = ME^.MC = MF^.MD = MP₂^.MP.

Поэтому точки P₁ и P₂ совпадают, а т.к. P — единственная общая точка окружностей S₁ и S₂, то точки P₁ и P₂ совпадают с точкой P. Следовательно, MP — общая касательная к окружностям S₁ и S₂.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4853