Информация о задаче

Задача 55533

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Ягубьянц А.

Внутри треугольника расположены окружности $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ одинакового радиуса, причём каждая из окружностей $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ касается двух сторон треугольника и окружности $\delta$ . Докажите, что центр окружности $\delta$ принадлежит прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей данного треугольника.

Подсказка

Треугольник с вершинами в центрах окружностей $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ гомотетичен данному треугольнику.

Решение

Пусть ABC — данный треугольник; O₁, O₂, O₃, O₄ -- центры равных окружностей $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ соответственно; x — радиус этих окружностей. Докажем, что треугольник O₁O₂O₃ гомотетичен треугольнику ABC.

Действительно, стороны треугольника O₁O₂O₃ соответственно параллельны сторонам треугольника ABC. При гомотетии с центром в точке N, центре вписанной окружности треугольника O₁O₂O₃ (и треугольника ABC), и коэффициентом, равным отношению расстояний от точки N до прямых BC и O₂O₃, треугольник O₁O₂O₃ перейдёт в треугольник ABC.

При этой гомотетии центр O₄ описанной окружности треугольника O₁O₂O₃ ( O₄O₁ = O₄O₂ = O₄O₃ = 2x) перейдёт в центр O описанной окружности треугольника ABC. Следовательно, точки N, O₄ и O лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4856