Задача 55534

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике на гипотенузе AB от вершины A отложим отрезок AD, равный катету AC, а от вершины B - отрезок BE, равный катету BC. Докажите, что длина отрезка DE равна диаметру окружности, вписанной в треугольник ABC.

Подсказка

Диаметр вписанного круга прямоугольного треугольника с катетами a, b и гипотенузой c равен a + b - c.

Решение

Пусть BC = a, AC = b, AB = c. Тогда

ED = AD - AE = AD - (AB - BE) = b - (c - a) = a + b - c.

Пусть r - радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. Если O - ее центр, а M, N, K - точки касания со сторонами AC, BC и AB треугольника ABC, то четырехугольник OMCN - квадрат. Поэтому

CM = CN = OM = ON = r,

c = AB = AK + BK = AM + BN = b - CM + a - CN =

= b - r + a - r = a + b - 2r

Следовательно, 2r = a + b - c = ED.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4857