ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 55537
УсловиеДокажите, что если ABCD — вписанный четырёхугольник, то сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABC и ACD равна сумме радиусов окружностей, вписанных в треугольники BCD и BDA.
ПодсказкаДокажите что центры указанных окружностей являются вершинами прямоугольника.
РешениеПусть O1, O2, O3, O4 — центры окружностей, вписанных в треугольники ABC, BCD, CDA и DAB; r1, r2, r3, r4 -- их радиусы. Докажем сначала, что четырёхугольник O1O2O3O4 -- прямоугольник (рис.1). Действительно, поскольку AO1 и BO1 — биссектрисы треугольника ABC, то
AO1B = 90o + ACB.
Аналогично
AO4B = 90o + ADB,
а т.к.
ADB = ACB, то
AO4B = AO1B. Поэтому
точки A, O4, O1 и B лежат на одной окружности.
Пусть K — точка на продолжении отрезка BO1 за точку O1. Тогда
O4O1K = 180o - O4O1B = O4AB = BAD
(т.к. луч AO4 — биссектриса угла BAD). Аналогично
KO1O2 = 180o - O2O1B = O2CB = BCD,
а т.к.
BAD + BCD = 180o (противоположные углы вписанного
четырёхугольника), то
O4O1O2 = O4O1K + O2O1K = BAD + BCD = 90o.
Аналогично для остальных углов четырёхугольника
O1O2O3O4.
Следовательно, четырёхугольник
O1O2O3O4 — прямоугольник.
Пусть M и L — точки касания вписанных окружностей треугольников ABD и BCD с диагональю BD (рис.2). Тогда
DL = - AB = ,
DM = - BC = ,
ML = | DL - DM| = .
Пусть E — проекция точки O2 на прямую O4M. Тогда в прямоугольном треугольнике O2EO4 катет EO4 = EM + MO4 = r2 + r4. Пусть P и Q — точки касания вписанных окружностей треугольников ABC и ADC с диагональю AC (рис.3), а F — проекция точки O3 на прямую O1P. Рассуждая аналогично, получим, что
PQ = = ML.
Поэтому прямоугольные треугольники
O1FO3 и
O2EO4 равны (по катету
и гипотенузе). Следовательно,
r1 + r3 = r2 + r4.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|