Задача 55548

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Два квадрата в пересечении дают восьмиугольник (рис.1). Две диагонали этого восьмиугольника делят его на на четыре четырёхугольника. Докажите, что эти диагонали перпендикулярны.

Подсказка

Постройте вспомогательные окружности.

Решение

Поскольку отрезок MN (рис.2) виден из точек A и A₁ под прямым углом, эти точки лежат на окружности с диаметром MN. Аналогично точки B и B₁ лежат на окружности с диаметром NK. Тогда

NPM = NPK = 90^o.

Следовательно, точки M, P и K лежат на одной прямой и NP MK. Аналогично докажем, что точки N, P и L лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4871