Задача 55549

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Диаметр AB окружности равен 1. На нем отложен отрезок AC, равный a. Проведена также хорда AD, равная b. Из точки C восстановлен перпендикуляр к AB, пересекающий хорду AD в точке E, а из точки D опущен перпендикуляр DF на AB (см. рисунок). Оказалось, что AE = AF. Докажите, что a = b³.

Подсказка

Рассмотрите подобные треугольники.

Решение

Треугольник ADB — прямоугольный, ADB = 90^o. Поэтому

AD² = AF ^. AB, или b² = AF ^. 1 = AF.

С другой стороны, из подобия прямоугольных треугольников AFD и ACE следует, что

= , или  = .

Значит, AF² = ab. Таким образом, b⁴ = ab. Следовательно, a = b³.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4872