Информация о задаче

Задача 55552

Темы:	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В ромбе ABCD угол A равен 60^o. Точки M и N лежат на сторонах CD и AD соответственно. Докажите, что если один из углов треугольника BMN равен равен 60^o, то и остальные тоже равны по 60^o.

Подсказка

Точки N, B, M, D лежат на одной окружности.

Решение

Пусть $\angle$ BNM = 60^o. Тогда отрезок BM виден из точек N и D, лежащих по одну сторону от прямой BM, под углом 60^o. Поэтому точки B, M, D и N лежат на одной окружности. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ BMN = $\displaystyle \angle$ BDN = 60^o.

Аналогично для случая, когда известно, что $\angle$ BMN = 60^o.

Если же $\angle$ NBM = 60^o, то противоположные углы NBM и NDM четырёхугольника NBMD в сумме составляют 180^o, поэтому точки B, M, D и N лежат на одной окружности. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ BNM = $\displaystyle \angle$ BDM = 60^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4875