Задача 55557

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Неравенство треугольника ] [ Наибольшая или наименьшая длина ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Точки M и N расположены по одну сторону от прямой l. С помощью циркуля и линейки постройте на прямой l такую точку K, для которой сумма MK + NK была бы наименьшей.

Подсказка

Рассмотрите образ одной из данных точек при симметрии относительно прямой l и примените неравенство треугольника.

Решение

Пусть N₁ — точка, симметричная точке N относительно прямой l. Тогда для любой точки K прямой l

MK + NK = MK + N₁K MN₁.

Равенство достигается в случае, когда K — точка пересечения прямых l и MN₁.

Из этого утверждения следует, что касательная к эллипсу образует равные углы с фокальными радиусами, проведёнными в точку касания. (См. Д.Гильберт и С.Кон-Фоссен. Наглядная геометрия. Гл.1.)

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5004