Задача 55559

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Симметрия и построения ] [ Неравенство треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Точки M и N расположены по разные стороны от прямой l и удалены от этой прямой на разные расстояния. С помощью циркуля и линейки постройте на прямой l такую точку K, чтобы разность отрезков MK и NK была наибольшей.

Подсказка

Рассмотрите образ одной из данных точек при симметрии относительно прямой l и примените неравенство треугольника.

Решение

Пусть N₁ — точка, симметричная точке N относительно прямой l. Предположим, что прямая MN₁ пересекает прямую l в точке К. Докажем, что точка K — искомая. Пусть P — призвольная точка прямой l, отличная от K. Тогда

MP - NP = MP - N₁P < MN₁ = MK - N₁K = MK - NK.

Из этого утверждения следует, что касательная к гиперболе является биссектрисой угла между фокальными радиусами, проведенными в точку касания. (См. Д.Гильберт и С.Кон-Фоссен. Наглядная геометрия. Гл.1.)

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5006