Задача 55565

Темы:    [ Наибольшая или наименьшая длина ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На окружности, описанной около треугольника ABC, найдите точку M такую, что расстояние между её проекциями на прямые AC и BC максимально.

Подсказка

Точка M, её проекции на прямые AC и BC и вершина C лежат на одной окружности.

Решение

Пусть P и Q — проекции точки M на прямые AC и BC. Тогда точки M, P, Q и C лежат на окружности с диаметром MC. Следовательно,

PQ = MC sinACB.

Поэтому PQ максимально, если MC максимально, т.е. когда MC -- диаметр описанной окружности треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5012