Задача 55577

Темы:    [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Четырёхугольник имеет две неперпендикулярные оси симметрии. Верно ли, что это — квадрат?

Подсказка

Рассмотрите все четырёхугольники, имеющие хотя бы одну ось симметрии.

Решение

Ясно, что квадрат удовлетворяет данному условию, т.к. его диагональ и серединный перпендикуляр к стороне — две не перпендикулярные оси симметрии.

Для доказательнства того, что других таких четырехугольников нет, достаточно перебрать все четырёхугольники, имеющие хотя бы одну ось симметрии. Это равнобедренная трапеция, ромб, прямоугольник и четырёхугольник (обозначим его ABCD), в котором AB = AD, BC = CD и ABBC.

Ответ

Да.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5025