Задача 55579

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что для любого натурального n существует выпуклый многоугольник, имеющий ровно n осей симметрии.

Решение

Примерами таких многоугольников служат:
   для  n = 1  – равнобедренный (но не равносторонний) треугольник;
   для  n = 2  – ромб, не являющийся квадратом;
   для  n ≥ 3  – правильный n-угольник.

Замечания

Выпуклый n-угольник не может иметь больше n осей симметрии. Действительно, фиксированная вершина A должна при симметрии перейти в какую вершину A', а разным вершинам A', отличным от A, соответствуют разные оси симметрии. Кроме того, есть не больше одной оси симметрии, проходящей через A: она может идти только по биссектрисе угла A.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5027