Задача 55588

Темы:    [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по данным серединам двух его сторон и прямой, на которой лежит биссектриса, проведённая к третьей стороне.

Подсказка

Точка, симметричная данной середине стороны треугольника относительно данной прямой, лежит на другой стороне треугольника.

Решение

Предположим, что нужный треугольник ABC построен. Пусь M и N -- данные середины его сторон AC и BC, а его биссектриса CK лежит на данной прямой l. Тогда точка N₁, симметричная точке N относительно прямой l, лежит на прямой AC.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим точку N₁, симметричную данной точке N относительно данной прямой. Пересечение данной прямой и прямой N₁M дает вершину C искомого треугольника. На лучах CM и CN строим точки A и B так, что

CA = 2CM, CB = 2CN.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5036