Задача 55591

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Симметрия и построения ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по данным серединам двух его сторон и прямой, на которой лежит биссектриса, проведённая к одной из этих сторон.

Подсказка

Точка, симметричная данной середине стороны треугольника относительно данной прямой, лежит на другой стороне треугольника.

Решение

Предположим, что нужный треугольник ABC построен. Пусть N и M -- данные середины его сторон AC и BC соответственно, а его биссектриса AK лежит на данной прямой l. Тогда точка N₁, симметричная точке N относительно прямой l, лежит на прямой AB.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим точку N₁, симметричную данной точке N относительно данной прямой. Через точку N₁ проводим прямую, параллельную прямой MN. Её точка пересечения с данной прямой есть искомая вершина A. На продолжении отрезка AN за точку N строим вершину C так, чтобы NC = AN. Прямая CM пересекает прямую AN₁ в искомой точке B.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5039