Информация о задаче

Задача 55594

Темы:	[	Симметрия и построения	]
Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте остроугольный треугольник по основаниям двух его высот и прямой, содержащей третью высоту.

Подсказка

Высоты остроугольного треугольника делят пополам углы его ортотреугольника (т.е. треугольника с вершинами в основаниях высот данного).

Решение

Предположим, что нужный треугольник ABC построен. Пусть B₁ и C₁ — данные основания его высот BB₁ и CC₁, а высота AA₁ лежит на данной прямой l. Тогда треугольник A₁B₁C₁ — ортотреугольник треугольника ABC. Следовательно, лучи A₁A, B₁B и C₁C — биссектрисы углов треугольника A₁B₁C₁.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим точку M, симметричную точке C₁ относительно данной прямой l. Пересечение прямой B₁M с прямой l дает основание A₁ третьей высоты искомого треугольника (т.к. прямая l делит угол C₁A₁B₁ пополам).

Обозначим через H точку пересечения биссектрис треугольника A₁B₁C₁. Через точки B₁ и C₁ проведём прямые, соответственно перпендикулярные биссектрисам углов B₁ и C₁ треугольника A₁B₁C₁. Пусть эти прямые пересекаются в точке A, Обозначим точку пересечения прямых AC₁ и B₁H буквой B, а прямых AB₁ и C₁H — буквой C. Докажем, что ABC — искомый треугольник, т.е., что AA₁, BB₁ и CC₁ — высоты построенного треугольника ABC.

Действительно, пусть

$\displaystyle \angle$ AB₁C₁ = $\displaystyle \angle$ CB₁A₁ = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ AC₁B₁ = $\displaystyle \angle$ BC₁A₁ = $\displaystyle \beta$ .

Поскольку из точек B₁ и C₁ отрезок AH виден под прямым углом, то эти точки лежат на окружности с диаметром AH. Тогда

$\displaystyle \angle$ AHC₁ = $\displaystyle \angle$ AB₁C₁ = $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \angle$ AHB₁ = $\displaystyle \angle$ AC₁B₁ = $\displaystyle \beta$ ,

$\displaystyle \angle$ B₁A₁C₁ = 180^o - $\displaystyle \angle$ A₁B₁C₁ - $\displaystyle \angle$ A₁C₁B₁ = 180^o - (180^o - 2 $\displaystyle \alpha$ ) - (180^o - 2 $\displaystyle \beta$ ) = 2 $\displaystyle \alpha$ + 2 $\displaystyle \beta$ - 180^o,

$\displaystyle \angle$ HA₁B₁ = $\displaystyle \angle$ HA₁C₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ B₁A₁C₁ = $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ - 90^o.

а т.к. CHA₁ — внешний угол треугольника A₁HC₁, то

$\displaystyle \angle$ CHA₁ = $\displaystyle \angle$ HA₁C₁ + $\displaystyle \angle$ HC₁A₁ = ( $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$ - 90^o) + (90^o - $\displaystyle \beta$ ) = $\displaystyle \alpha$ .

Аналогично находим, что $\angle$ BHA₁ = $\beta$ . Поскольку $\angle$ AHC₁ = $\angle$ CHA₁, то точки A, H и A₁ лежат на одной прямой.

Кроме того, из равенства $\angle$ CHA₁ = $\angle$ CB₁A₁ следует, что точки A₁, H, B₁ и C лежат на одной окружности. Поэтому

$\displaystyle \angle$ HA₁C = $\displaystyle \angle$ HB₁C = 90^o.

Аналогично докажем, что $\angle$ HA₁B = 90^o. Следовательно, точки B, A₁ и C лежат на одной прямой и AA₁ — высота треугольника ABC. Осталось заметить, что по построению BB₁ и CC₁ — также высоты треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5042