ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 55595
УсловиеДокажите, что в любом треугольнике точка H пересечения высот (ортоцентр), центр O описанной окружности и точка M пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка M расположена между точками O и H, и MH = 2MO.
ПодсказкаРасстояние от точки пересечения высот до вершины треугольника вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны.
Решение
Первый способ.
Пусть A1 — середина стороны BC треугольника ABC, G — точка пересечения прямых AA1 и OH. Воспользуемся известным фактом: AH = 2OA1. Из подобия треугольников A1GO и AGH следует, что
= = = 2.
Следовательно, G — точка пересечения медиан треугольника ABC,
т.е. G совпадает с M и MH = 2MO.
Второй способ.
Пусть AA1, BB1 и CC1 — медианы, а AA2, BB2 и CC2 — высоты треугольника ABC. Рассмотрим гомотетию с центром в точке M и коэффициентом - . При этой гомотетии треугольник ABC переходит в треугольник A1B1C1, а прямые AA2, BB2 и CC2 — в серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC (высоты треугольника A1B1C1). Поэтому точка H пересечения высот треугольника ABC переходит в точку пересечения серединных перпендикуляров этого треугольника, т.е. в центр O его описанной окружности. Следовательно, точки H и O лежат на прямой, проходящей через центр гомотетии (точку M), и MH = 2MO.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|