Информация о задаче

Задача 55599

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
Темы:	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Расстояние от точки пересечения высот треугольника ABC до вершины C равно радиусу описанной окружности. Найдите угол ACB.

Решение

Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, C₁ — середина AB, O — центр описанной окружности, R — её радиус. Поскольку CH = 2OC₁, то

OC₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ СH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ R = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ OA.

Следовательно,

$\displaystyle \angle$ AOC₁ = 60^o, $\displaystyle \angle$ AOB = 2 $\displaystyle \angle$ AOC₁ = 120^o.

Если точки C и O лежат по одну сторону от прямой AB, то

$\displaystyle \angle$ ACB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ AOB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.120^o = 60^o.

Если же точки C и O лежат по разные стороны от прямой AB, то

$\displaystyle \angle$ ACB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (360^o - $\displaystyle \angle$ AOB) = 180^o - 60^o = 120^o.

Расстояние от точки пересечения высот до вершины треугольника вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны.

Ответ

60^o или 120^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5048