Задача 55600

Темы:    [ Четырехугольники (построения) ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте квадрат по четырём точкам, лежащим на четырёх его сторонах.

Подсказка

Пусть K, P, R, Q — данные точки (в указанном порядке). Постройте на отрезках KP и RQ как на диаметрах окружности. (или на перпендикуляре, опущенном из точки R на PQ, отложите отрезок RS, равный PQ).

Решение

Первый способ.

Предположим, что данные точки K, P, R и Q расположены на сторонах соответственно AB, BC, CD и AD искомого квадрата ABCD. Поскольку отрезок KP виден из точки B под прямым углом, то эта точка лежит на окружности с диаметром KP. Аналогично точка D лежит на окружности с диаметром PQ. Пусть диагональ BD квадрата вторично пересекает первую окружность в точке M, а вторую — в точке N. Поскольку диагональ квадрата делит его угол пополам, то точки M и N — середины соответствующих полуокружностей.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Пусть K, P, R, Q — данные точки (в указанном порядке). Построим на отрезках KP и QR как на диаметрах окружности. Пусть M и N — середины полуокружностей, обращённых друг к другу. Диагональ квадрата лежит на прямой MN. Дальнейшия действия очевидны.

Если точки M и N не совпадают, то задача имеет единственное решение. В противном случае задача имеет бесконечно много решений.

Второй способ.

Через точку X, расположенную внутри квадрата ABCD, проведём две взаимно перпендикулярные прямые, каждая из которых пересекает противоположные стороны квадрата. Пусть первая прямая пересекает стороны AB и CD в точках P и Q, а вторая — стороны BC и AD в точках R и S. Докажем, что PQ = RS.

Пусть E — проекция точки P на DC, а F — проекция точки R на AD. Прямоугольные треугольники PEQ и RFS равны по катету и прилежащему острому углу. Поэтому PQ = RS.

Предположим, что данные точки K, P, R и Q расположены на сторонах соответственно AB, BC, CD и AD искомого квадрата ABCD. Через точку R проведём прямую, перпендикулярную PQ. Пусть X — точка пересечения этой прямой с отрезком PQ. На луче RX отложим отрезок RS, равный PQ. Тогда по ранее доказанному точка S принадлежит стороне AB искомого квадрата ABCD.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Из точки R опустим перпендикуляр на PQ. Отложим на этом перпендикуляре отрезок RS, равный PQ. Если точка S не совпадает с точкой K, проведём прямую KS. На этой прямой лежит сторона искомого квадрата. Дальнейшее построение очевидно. В этом случае задача имеет единственное решение. Если же точка S совпадает с точкой K, то задача имеет бесконечно много решений.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5049