Задача 55602

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что общая хорда двух окружностей перпендикулярна прямой, соединяющей их центры.

Подсказка

Докажите, что точки пересечения окружностей симметричны относительно линии центров этих окружностей.

Решение

Первый способ.

Пусть O₁ и O₂ — центры данных окружностей, A и B -- точки их пересечения. Тогда

O₁A = O₁B, O₂A = O₂B.

Следовательно, треугольник O₁AO₂ равен треугольнику O₁BO₂. Поэтому точки A и B симметричны относительно прямой O₁O₂, и AB перпендикулярно O₁O₂.

Второй способ.

Центр каждой окружности равноудален от концов общей хорды. Следовательно, центры окружностей лежат на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5051