Информация о задаче

Задача 55604

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

ABC — данный остроугольный треугольник, H — точка пересечения высот. Положим AB = c, BC = a, CA = b, AH = x, BH = y, CH = z. Докажите, что верно равенство ayz + bzx + cxy = abc.

Подсказка

У всех четырёх треугольников ABC, AHC, AHB, BHC равны радиусы описанных окружностей.

Решение

У всех четырёх треугольников ABC, AHC, AHB, BHC равны радиусы описанных окружностей (т.к. sin $\angle$ AHB = sin $\angle$ C и т. д.). Обозначим радиус через R. Тогда

S_ABC = S_BHC + S_CHA + S_AHB.

Значит,

$\displaystyle {\frac{abc}{4R}}$ = $\displaystyle {\frac{ayz}{4R}}$ + $\displaystyle {\frac{bzx}{4R}}$ + $\displaystyle {\frac{cxy}{4R}}$ ,

Следовательно,

ayz + bzx + cxy = abc.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5053