Задача 55612

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В четырёхугольнике ABCD площади треугольников ABC и ACD равны. Докажите, что диагональ BD делится другой диагональю пополам.

Подсказка

Треугольники с равными площадями и общим основанием имеют равные высоты, опущенные на это основание.

Решение

Первый способ.

Пусть O — точка пересечения диагоналей, D₁ — точка, симметричная точке D относительно прямой AC. Поскольку площади треугольников ABC и AD₁C равны, то BD₁ || AC. Кроме того, BOA = D₁OC. Следовательно, треугольник BOD₁ — равнобедренный. Поэтому BO = OD₁ и BO = OD.

Второй способ.

Пусть P и Q — проекции вершин B и D на AC. Тогда прямоугольные треугольники BPO и DQO равны по катету (BP = DQ как высоты равновеликих треугольников с общим основанием) и острому углу. Следовательно, BO = OD.

Обратное утверждение тоже верно.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5062