|
|
 |
Условие
Равные окружности S1 и S2 касаются внутренним образом окружности S в точках A1 и A2. Пусть C — некоторая точка окружности S, прямые A1C и A2C пересекают окружности S1 и S2 в точках B1 и B2 соответственно. Докажите, что B1B2 || A1A2.
Подсказка
Поскольку окружности S1 и S2 равны, то они переходят друг в друга при некоторой осевой симметрии. Рассмотрите эту симметрию.
Решение
Ясно, что окружности S1 и S2 симметричны относительно диаметра окружности S, перпендикулярного их линии центров. При этой симметрии точки C и B2 перейдут в точки C' и B2'.
Окружности S1 и S гомотетичны с центром гомотетии в точке A1, причём при этой гомотетии прямая B1B2' переходит в прямую CC'. Значит, эти прямые параллельны.
Кроме того, B2B2' || CC'. Поэтому точки B1, B2' и B2 лежат на одной прямой, причём эта прямая параллельна прямым CC' и A1A2.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 5085 |
