Информация о задаче

Задача 55644

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
Темы:	[	Симметрия и построения	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте равнобедренный треугольник, основание которого лежало бы на одной стороне данного острого угла, вершина — на другой стороне того же угла, а боковые стороны проходили бы через две данные точки внутри этого угла.

Подсказка

Пусть A₁ — образ данной внутри угла точки A при симметрии относительно одной из сторон этого угла. Если B — вторая данная точка, то отрезок A₁B виден из вершины искомого равнобедренного треугольника под углом 180^o - $\alpha$ , где $\alpha$ — величина данного острого угла.

Решение

Предположим, что нужный треугольник XYZ построен. Пусть его основание YZ лежит на одной стороне данного угла с вершиной O, а вершина X — на другой. Пусть боковые стороны XY и XZ этого треугольника проходят через данные внутри угла XOZ точки A и B соответственно. Для определенности будем считать, что точка Y лежит между точками O и Z.

Проведём высоту XH треугольника XYZ. Пусть точка A₁ симметрична точке A относительно прямой OX. Если $\angle$ XOY = $\alpha$ , то

$\displaystyle \angle$ A₁XB = 2 $\displaystyle \angle$ OXY + 2 $\displaystyle \angle$ YXH = 2 $\displaystyle \angle$ OXH = 2(90^o - $\displaystyle \alpha$ ) = 180^o - 2 $\displaystyle \alpha$ ,

т.е. из точки X отрезок A₁B виден под углом 180^o - 2 $\alpha$ .

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим точку A₁, симметричную данной точке A относительно той стороны данного угла, на которой должна лежать вершина искомого равнобедренного треугольника. На отрезке A₁B как на хорде строим дугу окружности, вмещающую угол 180^o - 2 $\alpha$ , где $\alpha$ — величина данного угла. Искомая вершина X равнобедренного треугольника является пересечением этой дуги с рассматриваемой стороной данного угла. При этом проекция точки X на вторую сторону данного угла должна лежать между проекциями точек A и B.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5097