Информация о задаче

Задача 55651

Темы:	[	Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями	]
Темы:	[	Площадь четырехугольника	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В четырёхугольнике ABCD известно, что DO = 4, BC = 5, $\angle$ ABD = 45^o, где O — точка пересечения диагоналей. Найдите BO, если площадь четырёхугольника ABCD равна ${\frac{1}{2}}$ (AB^.CD + BC^.AD).

Подсказка

Докажите, что ABCD — вписанный четырёхугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями.

Решение

Пусть C₁ — точка, симметричная вершине C относительно серединного перпендикуляра к диагонали BD. Тогда

S_ABCD = S_ABC₁D = S_ABC₁ + S_AC₁D =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AB^.BC₁sin $\displaystyle \angle$ ABC₁ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AD^.DC₁sin $\displaystyle \angle$ ADC₁ $\displaystyle \leqslant$

$\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AB^.BC₁ + AD^.DC₁) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AB^.DC + AD^.BC),

причём равенство достигается только в случае, когда

$\displaystyle \angle$ ABC₁ = $\displaystyle \angle$ ADC₁ = 90^o.

Поэтому четырёхугольник ABC₁D — вписанный и AC₁ — диаметр его описанной окружности.

Серединный перпендикуляр к диагонали BD является осью симметрии этой окружности. Поэтому на окружности лежит и вершина C. Следовательно, четырёхугольник ABCD — вписанный. Поскольку AC₁ — диаметр его описанной окружности, то $\angle$ ACC₁ = 90^o. Поэтому диагональ AC параллельна серединному перпендикуляру к диагонали BD. Следовательно диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны. Тогда в треугольнике COD:

OD = 4, $\displaystyle \angle$ COD = 90^o, $\displaystyle \angle$ OCD = $\displaystyle \angle$ ACD = $\displaystyle \angle$ ABD = 45^o.

Поэтому OC = OD = 4. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника COB находим, что

OB = $\displaystyle \sqrt{BC^{2} - OC^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{5^{2} - 4^{2}}$ = 3.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5105