Информация о задаче

Задача 55654

Темы:	[	Композиции симметрий	]
Темы:	[	Произвольные многоугольники	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Из точки O на плоскости выходят 2n прямых. Могут ли они служить серединными перпендикулярами к сторонам некоторого 2n-угольника?

Подсказка

Композиция двух симметрий относительно пересекающихся осей есть поворот на угол, равный удвоенному углу между этими осями.

Решение

Пусть A₁A₂...A_2n — многоугольник, серединными перпендикулярами к сторонам которого служат данные прямые. Тогда композиция 2n симметрий относительно данных прямых есть тождественное преобразование, т.е. поворот на угол 360^{o .}k. Следовательно,

2( $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ +...+ $\displaystyle \alpha_{2n-1}^{}$ ) = 360^{o .}k, $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ +...+ $\displaystyle \alpha_{2n-1}^{}$ = 180^{o .}k.

Ответ

Не всегда. Критерий:

$\displaystyle \alpha_{1}^{}$ +...+ $\displaystyle \alpha_{2n-1}^{}$ = $\displaystyle \alpha_{2}^{}$ +...+ $\displaystyle \alpha_{2n}^{}$ = 180^{o .}k,

где $\alpha_{i}^{}$ — угол между i-ой и (i + 1)-ой прямой, где k — натуральное.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5108