Информация о задаче

Задача 55660

Темы:	[	Композиции симметрий	]
Темы:	[	Поворот (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны точки O, M и прямая l, проходящая через точку O. Прямую l повернули вокруг точки O против часовой стрелки на угол $\alpha$ , получив прямую l₁. Докажите, что точка, симметричная точке M относительно прямой l₁, получается из точки, симметричной точке M относительно прямой l, поворотом вокруг точки O против часовой стрелки на угол 2 $\alpha$ .

Подсказка

Композиция симметрий относительно сторон угла величины $\alpha$ есть поворот вокруг вершины этого угла на угол 2 $\alpha$ .

Решение

Первый способ.

Пусть M₁ и M₂ — точки, симметричные точке M относительно прямых l и l₁ соответственно. Тогда точка M₁ переходит в точку M₂ при композиции симметрий относительно прямых l и l₁, т.е. при повороте вокруг точки O на угол 2 $\alpha$ .

Второй способ.

Пусть M₁ и M₂ — точки, симметричные точке M относительно прямых l и l₁ соответственно. Тогда OM = OM₁ = OM₂. Поэтому точки M, M₁ и M₂ расположены на окружности с центром O. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ M₁OM₂ = 2 $\displaystyle \angle$ M₁MM₂ = 2 $\displaystyle \alpha$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5119