Задача 55675

Темы:    [ Симметрия и построения ] [ Композиции симметрий ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

На плоскости даны 2n - 1 прямая, окружность и точка K внутри окружности. С помощью циркуля и линейки впишите в окружность 2n-угольник, у которого одна сторона проходит через точку K, а остальные параллельны данным прямым.

Подсказка

Рассмотрите композицию симметрий относительно перпендикуляров к данным прямым, проходящих через центр данной окружности.

Решение

Пусть A₁...A_2n — искомый многоугольник, точка K принадлежит его стороне A₁A_2n. Проведём через центр окружности 2n - 1 прямых, соответственно перпендикулярных данным. Получим серединные перпендикуляры к сторонам A₁A₂, A₂A₃, ..., A_{2n - 1}A_2n.

Вершина A₁ при композиции симметрий относительно этих прямых переходит в вершину A_2n. Поскольку число прямых нечётно, то эта композиция есть симметрия относительно некоторой прямой.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим ось композиции симметрий. Затем через данную точку K проводим прямую, перпендикулярную этой оси. Полученная хорда — сторона A₁A_2n искомого многоугольника.

Остальные вершины строим с помощью симметрий относительно перпендикуляров к данным прямым, проходящих через центр данной окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5135