Задача 55677

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Композиции симметрий ] [ Поворот (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

На плоскости даны 2n прямых, окружность и точка K внутри неё. С помощью циркуля и линейки впишите в окружность (2n + 1)-угольник, одна сторона которого проходит через точку K, а остальные стороны параллельны данным прямым.

Подсказка

Рассмотрите композицию симметрий относительно перпендикуляров к данным прямым, проходящих через центр данной окружности.

Решение

Предположим, что нужный многоугольник A₁...A_{2n + 1} построен. Пусть данная точка K лежит на его стороне A₁A_{2n + 1}. Из центра окружности проведём 2n прямых, перпендикулярных данным. Они являются серединными перпендикулярами к отрезкам A₁A₂, A₂A₃, ..., A_2nA_{2n + 1}. Точка A₁ переходит в A_{2n + 1} при композиции симметрий относительно этих 2n прямых, т.е. при повороте на некоторый угол .

Следовательно, задача сводится к проведению через точку K хорды A₁A_{2n + 1}, которая видна из центра данной окружности под данным углом .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5137