Информация о задаче

Задача 55682

Темы:	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Вписанная окружность касается сторон AC и BC треугольника ABC в точках B₁ и A₁ соответственно. Докажите, что если AC > BC, то AA₁ > BB₁.

Подсказка

Рассмотрите симметрию относительно биссектрисы угла C.

Решение

Пусть B₂ — точка, симметричная точке B относительно биссектрисы угла ACB. Тогда BB₁ = B₂A₁. В треугольнике AB₂A₁

$\displaystyle \angle$ AB₂A₁ > $\displaystyle \angle$ AB₂B = 180^o - $\displaystyle \angle$ CB₂B =

= 180^o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (180^o - $\displaystyle \angle$ C) = 90^o + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ C > 90^o.

Следовательно, A₁B₂ > AA₁.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5142