Задача 55696

Темы:    [ Параллельный перенос. Построения и геометрические места точек ] [ Диаметр, хорды и секущие ] [ Перенос помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки параллельно данной прямой проведите прямую, на которой две данные окружности высекали бы хорды, сумма (или разность) длин которых имела бы заданную величину a.

Подсказка

Рассмотрите параллельный перенос одной из окружностей вдоль данной прямой на расстояние .

Решение

Рассмотрим случай, когда окружности расположены одна вне другой, и сумма указанных хорд имеет заданную величину a.

Предположим, что нужная прямая проведена. Пусть AB и CD — хорды данных окружностей S₁ и S₂, параллельные данной прямой l, и AB + CD = a (A, B, C и D — последовательные точки проведённой прямой).

При параллельном переносе на вектор окружность S₁ переходит в равную ей окружность S. Пусть Q₁, Q₂ и Q — проекции центров окружностей соответственно S₁, S₂ и S на проведённую прямую. Тогда Q₁, Q₂ и Q — середины соответствующих хорд. Поэтому

QQ₂ = QC + CQ₂ = AB + CD = .

Отсюда вытекает следующий способ построения. Совершим параллельный перенос одной из окружностей вдоль данной прямой на расстояние, равное . Если образ S окружности S₁ при этом переносе пересекает окружность S₂ в точке C, то прямая, проходящая через точку C параллельно прямой l, — искомая.

Аналогичное решение для разности хорд.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5510