Информация о задаче

Задача 55699

Темы:	[	Перенос помогает решить задачу	]
	[	Параллельный перенос. Построения и геометрические места точек	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки проведите через данную точку прямую, на которой две данные окружности высекали бы равные хорды.

Подсказка

Примените параллельный перенос и теорему о касательной и секущей.

Решение

Рассмотрим случай, когда окружности расположены одна вне другой, а данная точка лежит вне обеих окружностей. Предположим, что нужная прямая проведена. Пусть M — данная точка, S₁ и S₂ — данные окружности, O₁ и O₂ — их центры, AB и CD — равные хорды (точки A, B, C, D расположены на прямой в указанном порядке).

При параллельном переносе на вектор $\overrightarrow{CA}$ окружность S₂ перейдёт в окружность S с центром O. Прямая O₁O перпендикулярна общей хорде AB окружностей S и S₁. Проведём из данной точки M касательные MP и MQ к окружностям S₁ и S соответственно (P и Q — точки касания). По теореме о касательной и секущей

MQ² = MA^.MB = MP².

Поэтому MQ = MP.

Пусть R — радиус окружности S₂ (и S). По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника OQM находим, что

OM² = OQ² + MQ² = R² + MP².

Следовательно, точка O лежит на окружности с центром в точке M и радиусом, равным $\sqrt{R^{2} + MP^{2}}$ . С другой стороны, т.к. $\angle$ O₁OO₂ = 90^o, то точка O лежит на окружности с диаметром O₁O₂.

Отсюда выстекает следующее построение. Из данной точки M проводим касательную MP к окружности S₁. Строим прямоугольный треугольник по двум катетам, равным радиусу R окружности S₁ и отрезку MP. С центром в точке M проводим окружность радиусом, равным гипотенузе построенного треугольника. Пересечение этой окружности с окружностью, построенной на отрезке с концами в центрах данных окружностей как на диаметре, даёт точку O. Наконец, через точку M проводим прямую, параллельную OO₂. Данные окружности высекают на проведённой прямой равные хорды.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5513


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	15
Название	Параллельный перенос
Тема	Параллельный перенос
параграф
Номер	2
Название	Построения и геометрические места точек
Тема	Параллельный перенос. Построения и геометрические места точек
задача
Номер	15.011


олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2008
тур
задача
Номер	15