Задача 55719

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что середины сторон правильного многоугольника образуют правильный многоугольник.

Подсказка

См. задачу 116237.

Решение 1

Правильный n-угольник переходит в себя при повороте на угол вокруг его центра. При этом n-угольник с вершинами в серединах сторон данного также переходит в себя. Следовательно, он правильный.

Решение 2

Равнобедренные треугольники, отсечённые от исходного многоугольника отрезками, соединяющими середины его соседних сторон, очевидно, равны. Отсюда сразу следует равенство сторон нового многоугольника. Каждый угол нового многоугольника дополняет до 180° удвоенный угол при основании указанного равнобедренного треугольника и, следовательно, равен углу исходного многоугольника.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6003