|
|
 |
Условие
На сторонах произвольного выпуклого четырёхугольника внешним образом построены квадраты. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны и перпендикулярны.
Подсказка
Рассмотрите композицию поворотов на угол 90o вокруг центров соседних квадратов.
Решение
Пусть P, Q, R и S — центры квадратов, построенных
соответственно на сторонах AB, BC, CD и AD четырёхугольника
ABCD. Рассмотрим поворот на угол
90o вокруг точки Q,
переводящий вершину B в вершину C, и поворот на угол
90o
вокруг точки R, переводящий C в D. Композиция этих поворотов
есть поворот на угол
180
circ, т.е. центральная симметрия.
Центр этой симметрии, точка O, — середина отрезка BD, т.к.
при рассматриваемой композиции поворотов точка B переходит в D.
Если Q1 — образ точки Q при этой композиции, то отрезок QQ1 проходит через точку O и делится ею пополам. Поэтому RO — высота равнобедренного прямоугольного треугольника QRQ1, и ROQ — также равнобедренный прямоугольный треугольник.
Аналогично докажем, что SOP — равнобедренный прямоугольный треугольник.
Следовательно, при повороте на угол 90o вокруг точки O, переводящем точку Q в точку R, точка S переходит в точку P, а отрезок QS — в отрезок RP. Поэтому указанные отрезки равны и перпендикулярны.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 6028 |
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 18 |
| Название | Поворот |
| Тема | Поворот |
| параграф | |
| Номер | 4 |
| Название | Композиции поворотов |
| Тема | Композиции поворотов |
| задача | |
| Номер | 18.034 |
