Информация о задаче

Задача 55749

Темы:	[	Композиции поворотов	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пусть P, Q и R — центры равносторонних треугольников, построенных внешним образом на сторонах AB, BC и AC треугольника ABC, а M, N, и K — центры равносторонних треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC внутренним образом. Докажите, что разность площадей треугольников PQR и MNK равна площади треугольника ABC.

Подсказка

Выразите по теореме косинусов стороны равносторонних треугольников PQR и MNK через две стороны и угол между ними треугольника ABC.

Решение

Пусть x и y — стороны равносторонних треугольников PQR и MNK, AC = b, AB = c, $\angle$ BAC = $\alpha$ . По теореме косинусов из треугольника APR находим, что

x² = PR² = AR² + AP² - 2AR^.AP cos $\displaystyle \angle$ PAR =

= $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{b}{\sqrt{3}}}\right.$ $\displaystyle {\frac{b}{\sqrt{3}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{b}{\sqrt{3}}}\right)^{2}_{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{c}{\sqrt{3}}}\right.$ $\displaystyle {\frac{c}{\sqrt{3}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{c}{\sqrt{3}}}\right)^{2}_{}$ - $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ bc cos( $\displaystyle \alpha$ + 60^o) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ (b² + c² - 2bc cos( $\displaystyle \alpha$ + 60^o)).

Тогда

S_PQR = $\displaystyle {\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{12}}$ (b² + c² - 2bc cos( $\displaystyle \alpha$ + 60^o)).

Аналогично

y² = MK² = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ (b² + c² - 2bc cos( $\displaystyle \alpha$ - 60^o)),

S_MNK = $\displaystyle {\frac{y^{2}\sqrt{3}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{12}}$ (b² + c² - 2bc cos( $\displaystyle \alpha$ - 60^o)).

Следовательно,

S_PQR - S_MNK = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{6}}$ bc(cos( $\displaystyle \alpha$ - 60^o) - cos( $\displaystyle \alpha$ + 60^o)) =

= $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{3}}$ bc sin $\displaystyle \alpha$ sin 60^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ bc sin $\displaystyle \alpha$ = S_ABC.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6033