Задача 55751

Темы:    [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Нямсурен Д.

Из вершины A квадрата ABCD внутрь квадрата проведены два луча, на которые опущены перпендикуляры BK, BL, DM, DN из вершин B и D. Докажите, что отрезки KL и MN равны и перпендикулярны.

Подсказка

Рассмотрите поворот на 90^o вокруг центра квадрата.

Решение

При повороте на 90^o вокруг центра данного квадрата, переводящем вершину B в вершину A, вершина A переходит в вершину D, луч BK — в луч AM ( ABK = DAM), а луч AK — в луч DM. Поэтому точка K пересечения лучей BK и AK перейдёт в точку M пересечения лучей AM и DM.

Аналогично докажем, что при этом повороте точка L перейдёт в точку N. Значит, отрезок KL переходит в отрезок MN. Следовательно, KL = MN и KL MN.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6035